Aritmética - Interés Simple - Problema Propuesto 1

Dos capitales que están en relación de $21$ a $10$ se han colocado al $6%$ y $8%$. Si los capitales e intereses suman S/.$105260$ al cabo de $10$ años y $6$ meses, encuentre la diferencia de los capitales.

a) $20000$
b) $21000$
c) $22000$
d) $24000$
e) $25000$

Solución:

El tiemepo es $10$ años y $6$ meses, es decir, $10+\frac{1}{2}=\frac{21}{2}$ años.

Sean $C_1$ y $C_2$ los dos capitales.

Por dato:
$$\frac{C_1}{21}=\frac{C_2}{10}\Longrightarrow C_1=\frac{21}{10}C_2\quad\ldots\mbox{(I)}$$
Los intereses son:
$$\begin{align}
I_1&=\frac{C_1\left(\frac{21}{2}\right)6}{100}\Longrightarrow I_1=\frac{63}{100}C_1\quad\ldots\mbox{(II)}\\ \\
I_2&=\frac{C_2\left(\frac{21}{2}\right)8}{100}\Longrightarrow I_2=\frac{84}{100}C_2\quad\ldots\mbox{(III)}
\end{align}$$
Además:
$$C_1+C_2+I_1+I_2=105260\quad\ldots\mbox{(IV)}$$
Reemplazamos $\mbox{(I)}$, $\mbox{(II)}$ y $\mbox{(III)}$ en $\mbox{IV}$:
$$\begin{align}
\frac{21}{10}C_2+C_2+\frac{63}{100}\left(\frac{21}{10}C_2\right)+\frac{84}{100}C_2&=105260\\ \\
\frac{2100+1000+1323+840}{1000}C_2&=105260\\ \\
\frac{5263}{1000}C_2&=105260\\ \\
C_2&=20000
\end{align}$$
Usando el valor encontrado, $C_2=20000$, obtenemos $C_1$:
$$C_1=\frac{21}{10}(20000)\Longrightarrow C_1=42000$$
Ya tenemos:
$$\begin{align}
C_1&=42000\\ \\
C_2&=20000
\end{align}$$
Calculamos la diferencia entre capitales:
$$\begin{align}
C_1-C_2&=42000-20000\\ \\
C_1-C_2&=22000
\end{align}$$
Por lo tanto, la respuesta es la alternativa C.