Aritmética - Promedios - Problema Propuesto 2

Si el mayor de los promedios de dos números es $10$ y el menor de lso promedios es $8.1$, calcule la media proporcional de dichos números.

a) $8$
b) $6$
c) $2$
d) $3$
e) $9$

Solución:

Sean $a$ y $b$ los dos números.

El mayor promedio es el promedio aritmético, luego:
$$\begin{align}
\frac{a+b}{2}&=10\\ \\
a+b&=20\quad\ldots\mbox{(I)}
\end{align}$$
El menor promedio es el promedio armónico, luego:
$$\begin{align}
\frac{2ab}{a+b}&=8.1\\ \\
ab&=\frac{8.1}{2}(a+b)\quad\ldots\mbox{(II)}
\end{align}$$
Remplazamos $\mbox{(I)}$ en $\mbox{(II)}$:
$$\begin{align}
ab&=\frac{8.1}{2}(20)\\ \\
ab&=81\quad\ldots\mbox{(III)}
\end{align}$$
Usamos $\mbox{(III)}$ para hallar la media proporcional (media geométrica):
$$\begin{align}
\sqrt{ab}&=\sqrt{81}\\ \\
\sqrt{ab}&=9
\end{align}$$
Por lo tanto, la respuesta es la alternativa E.