Aritmética - Razones y Proporciones - Problema Propuesto 4

Si Rebeca le diera $5$ nuevos soles a Milagritos tendría tantos soles como $5$ es a $4$; pero si recibiera $10$ nuevos soles de Milagritos, la relación sería de $4$ a $3$. ¿Qué cantidad de nuevos soles tiene Rebeca?

a) $530$
b) $440$
c) $380$
d) $220$
e) $525$

Solución:

Sea $x$ la cantidad de soles que tiene Rebeca.

Sea $y$ la cantidad de soles que tiene Milagritos.

Por dato, si Rebeca le diera $5$ nuevos soles a Milagritos tendría tantos soles como $5$ es a $4$, es decir:
$$\begin{align}
\frac{x-5}{5}&=\frac{y+5}{4}\\ \\
4x-20&=5y+25\\ \\
4x-5y&=45\quad\ldots\mbox{(I)}
\end{align}$$
Además, si Rebeca recibiera $10$ nuevos soles de Milagritos, la relación sería de $4$ a $3$, es decir:
$$\begin{align}
\frac{x+10}{4}&=\frac{y-10}{3}\\ \\
3x+30&=4y-40\\ \\
3x-4y&=-70\\ \\
-\frac{5}{4}\left( 3x-4y\right) &=-\frac{5}{4}(-70)\\ \\
-\frac{15}{4}x+5y&=\frac{175}{2}\quad\ldots\mbox{(II)}
\end{align}$$
Sumamos, miembro a miembro, $\mbox{(I)}$ y $\mbox{(II)}$, obtenemos:
$$\begin{align}
\left( 4-\frac{15}{2}\right)x&=45+\frac{175}{2}\\ \\
\left( \frac{16-15}{4}\right)x&=\frac{90+175}{2}\\ \\
\frac{x}{4}&=\frac{265}{2}\\ \\
x&=530
\end{align}$$
Por lo tanto, la respuesta es la alternativa A.