Álgebra - Grados y Polinomios - Problema 3

Calcular el coeficiente de:
$$M(x,y)=(a^2+b^2)x^{5a-3b}y^{3+2b}$$
Sabiendo que: $GA(M)=16$ y $GR(y)=7$.

a) $10$
b) $11$
c) $12$
d) $13$
e) $4$

Solución:

El grado absoluto del monomio $M(x,y)$ es $16$, es decir, la suma de los exponentes de las variables es:
$$\begin{align}
(5a-3b)+(3+2b)&=16\\ \\
5a-b+3&=16\\ \\
5a-b&=13\quad\ldots\mbox{(I)}
\end{align}$$
Además, el grado relativo de la variable $y$ es $7$, es decir:
$$\begin{align}
3+2b&=7\\ \\
2b&=4\\ \\
b&=2\quad\ldots\mbox{(II)}
\end{align}$$
Remplazamos $\mbox{(II)}$ en $\mbox{(I)}$:
$$\begin{align}
5a-2&=13\\ \\
5a&=15\\ \\
a&=3\quad\ldots\mbox{(III)}
\end{align}$$
Nos piden calcular el coeficiente, que es $(a^2+b^2)$, usamos $\mbox{(II)}$ y $\mbox{(III)}$:
$$a^2+b^2=3^2+2^2\Longrightarrow a^2+b^2=13$$
Por lo tanto, la respuesta es la alternativa D.