Álgebra - Leyes de Exponentes y Radicales - Problema 1

Calcular:
$$S=\left(16^{-4^{-1}}\right)^{-1}+\left(25^{-2^{-1}}\right)^{-1}$$

a) $8$
b) $9$
c) $10$
d) $7$
e) $6$

Solución:

Tenemos:
$$S=\left(16^{-4^{-1}}\right)^{-1}+\left(25^{-2^{-1}}\right)^{-1}\quad\ldots\mbox{(I)}$$
Operamos por partes:
$$\begin{align}
\left(16^{-4^{-1}}\right)^{-1}&=\left(16^{-1/4}\right)^{-1}\\ \\
\left(16^{-4^{-1}}\right)^{-1}&=16^{(-1/4)(-1)}\\ \\
\left(16^{-4^{-1}}\right)^{-1}&=16^{1/4}\\ \\
\left(16^{-4^{-1}}\right)^{-1}&=\left(2^4\right)^{1/4}\\ \\
\left(16^{-4^{-1}}\right)^{-1}&=2^{(4)(1/4)}\\ \\
\left(16^{-4^{-1}}\right)^{-1}&=2^1\\ \\
\left(16^{-4^{-1}}\right)^{-1}&=2\quad\ldots\mbox{(II)}
\end{align}$$
$$\begin{align}
\left(25^{-2^{-1}}\right)^{-1}&=\left(25^{-1/2}\right)^{-1}\\ \\
\left(25^{-2^{-1}}\right)^{-1}&=25^{(-1/2)(-1)}\\ \\
\left(25^{-2^{-1}}\right)^{-1}&=25^{1/2}\\ \\
\left(25^{-2^{-1}}\right)^{-1}&=\left(5^2\right)^{1/2}\\ \\
\left(25^{-2^{-1}}\right)^{-1}&=5^{(2)(1/2)}\\ \\
\left(25^{-2^{-1}}\right)^{-1}&=5^1\\ \\
\left(25^{-2^{-1}}\right)^{-1}&=5\quad\ldots\mbox{(III)}
\end{align}$$
Usamos los resultados $\mbox{(II)}$ y $\mbox{(III)}$ en $\mbox{(I)}$:
$$\begin{align}
S&=\left(16^{-4^{-1}}\right)^{-1}+\left(25^{-2^{-1}}\right)^{-1}\\ \\
S&=2+5\\ \\
S&=7
\end{align}$$
Por lo tanto, la respuesta es la alternativa D.