Aritmética - Promedios - Problema Propuesto 5

Un grupo de niños tiene en promedio $15$ soles. Pero si a uno de ellos le damos $1$ sol más y al siguiente $2$ soles más y al tercero $3$ soles más y así sucesivamente, cada niño tendría en promedio $20$ soles. ¿Cuántos niños hay en el grupo?

a) $8$
b) $10$
c) $9$
d) $7$
e) $6$

Solución:

Sea $n$ la cantidad de niños en el grupo.

Sea $A$ la suma de soles dl grupo de $n$ niños.

Por dato, al principio se tiene en promedio $15$ soles, es decir:
$$\frac{A}{n}=15\Longrightarrow A=15n\quad\ldots\mbox{(I)}$$
Luego, al primero se le da $1$ sol más y al siguiente $2$ soles más y al tercero $3$ soles más y así sucesivamente.

Es decir, en total, se aumentan $(1+2+3+\cdots+n)$ soles al grupo de niños.

Pero por propiedad, para la suma de los primeros $n$ números naturales:
$$1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$$
Además, el promedio final es $20$ soles. El número de niños es el mismo, sigue siendo $n$. Pero la suma de soles del grupo ahora es:
$$A+(1+2+\cdots+n)=A+\frac{n(n+1)}{2}$$
Luego:
$$\frac{A+\frac{n(n+1)}{2}}{n}=20\Longrightarrow 2A+n(n+1)=40n\quad\ldots\mbox{(II)}$$
Usamos $\mbox(I)$ en $\mbox{(II)}$:
$$\begin{align}
2(15n)+n(n+1)&=40n\\ \\
30n+n^2+n=40n\\ \\
n^2-9n&=0\\ \\
n(n-9)&=0
\end{align}$$
De donde: $n=0$ ó $n=9$. Descartamos $n=0$, pues esto significaría que no haya ningún niño, lo cual no es posible.

Luego, $n=9$. Hay $9$ niños en el grupo.

Por lo tanto, la respuesta es la alternativa C.