Aritmética - Razones y Proporciones - Problema Propuesto 8

Si:
$$\frac{a+4}{a-4}=\frac{b+5}{b-5}=\frac{c+7}{c-7}=\frac{d+9}{d-9}$$
Además: $a+b+c+d=125$. Calcular $ad$.

a) $200$
b) $300$
c) $400$
d) $900$
e) $600$

Solución:

Tenemos:
$$a+b+c+d=125\quad\ldots\mbox{(I)}$$
$$\frac{a+4}{a-4}=\frac{b+5}{b-5}=\frac{c+7}{c-7}=\frac{d+9}{d-9}=k$$
Por propiedad:
$$\begin{align}
\frac{(a+4)+(b+5)+(c+7)+(d+9)}{(a-4)+(b-5)+(c-7)+(d-9)}&=k\\ \\
\frac{(a+b+c+d)+(4+5+7+9)}{(a+b+c+d)+(-4-5-7-9)}&=k\\ \\
\frac{(a+b+c+d)+25}{(a+b+c+d)-25}&=k\quad\ldots\mbox{(II)}
\end{align}$$
Usamos $\mbox{(I)}$ en $\mbox{(II)}$:
$$k=\frac{125+25}{125-25}\Longrightarrow k=\frac{150}{100}\Longrightarrow k=\frac{3}{2}$$
Luego:
$$\begin{align}
\frac{a+4}{a-4}&=\frac{3}{2}\Longrightarrow 2a+8=3a-12\Longrightarrow a=20\\ \\
\frac{d+9}{d-9}&=\frac{3}{2}\Longrightarrow 2d+18=3d-27\Longrightarrow d=45
\end{align}$$
Entonces:
$$\begin{align}
ad&=(20)(45)\\ \\
ad&=900
\end{align}$$
Por lo tanto, la respuesta es la alternativa D.