Aritmética - Razones y Proporciones - Problema Propuesto 7

Si: $\frac{a+b}{a-b}=\frac{13}{7}$ y $\frac{a+c}{a-c}=\frac{9}{6}$; calcule la razón aritmética de $a$ y $b$, si $c=24$.

a) $11$
b) $13$
c) $78$
d) $12$
e) $84$

Solución:

Tenemos:
$$\frac{a+b}{a-b}=\frac{9}{6}$$
Como $c=24$, entonces:
$$\begin{align}
\frac{a+24}{a-24}&=\frac{9}{6}\\ \\
6a+144&=9a-216\\ \\
3a&=360\\ \\
a&=120\quad\ldots\mbox{(I)}
\end{align}$$
Además:
$$\frac{a+b}{a-b}=\frac{13}{7}\quad\ldots\mbox{(II)}$$
Reemplazamos $\mbox{(I)}$ en $\mbox{(II)}$:
$$\begin{align}
\frac{120+b}{120-b}&=\frac{13}{7}\\ \\
840+7b&=1560-13b\\ \\
20b&=720\\ \\
b&=36
\end{align}$$
Ya tenemos:
$$\begin{align}
a&=120\\ \\
b&=36
\end{align}$$
La razón aritmética de $a$ y $b$ es:
$$\begin{align}
a-b&=120-36\\ \\
a-b&=84
\end{align}$$
Por lo tanto, la respuesta es la alternativa E.