Aritmética - Magnitudes - Problema Propuesto 3

El peso de un disco varía proporcionalmente a su espesor y al cuadrado de su radio. Hallar la relación entre los radios de dos discos cuyos espesores están en la relación de $9$ a $8$ y el peso del primero es el doble del segundo.

a) $4/3$
b) $9/8$
c) $16/9$
d) $9/5$
e) $4/1$

Solución:

Sean:

$P_1$: el peso del primer disco.
$E_1$: el espesor del primer disco.
$R_1$: el radio del primer disco.

$P_2$: el peso del segundo disco.
$E_2$: el espesor del segundo disco.
$R_2$: el radio del segundo disco.

Se tiene que:
$$\frac{P_1}{E_1R_1^2}=\frac{P_2}{E_2R_2^2}=k$$
Los datos del problema son:
$$\begin{align}
\frac{E_1}{E_2}&=\frac{9}{8}\\ \\
\frac{P_1}{P_2}&=\frac{2}{1}=2
\end{align}$$
Usamos estos datos:
$$\begin{align}
\frac{P_1}{E_1R_1^2}&=\frac{P_2}{E_2R_2^2}\\ \\
\frac{R_1^2}{R_2^2}&=\frac{P_1E_2}{P_2E_1}\\ \\
\frac{R_1^2}{R_2^2}&=\left(\frac{P_1}{P_2}\right) \left(\frac{E_2}{E_1}\right)\\ \\
\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2&=\left(\frac{P_1}{P_2}\right) \left(\frac{E_1}{E_2}\right)^{-1}\\ \\
\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2&=\left( 2\right) \left(\frac{9}{8}\right)^{-1}\\ \\
\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2&=\left( 2\right) \left(\frac{8}{9}\right)\\ \\
\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2&=\frac{16}{9}\\ \\
\frac{R_1}{R_2}&=\sqrt{\frac{16}{9}}\\ \\
\frac{R_1}{R_2}&=\frac{4}{9}
\end{align}$$
El último resultado es lo que el problema nos pedía hallar.

Por lo tanto, la respuesta es la alternativa A.